محاسبه حد

Calculus

محاسبه حد

متلب روش های مختلفی را برای حل مسائل حساب دیفرانسیل و انتگرال از هر درجه و حساب حد وجود دارد. می توان به آسانی می توان نمودار تابع مختلط را رسم، نقاط ماکزیمم یا مینیمم و سایر نقاط روی نمودار را با حل تابع اصلی یا به روش بهتر یعنی مشتق گیری بررسی کرد.

این فصل با مسائل حساب سروکار دارد. در این فصل به بحث های مفاهیم اولیه حساب مانند حساب حد توابع و بررسی خصوصیات حد می پردازیم.

محاسبه حد

متلب با استفاده از تابع limit، حد تابع را محاسبه می کند.

مثال

حد تابع f(x) = (x³ + 5)/(x⁴ + 7) را وقتی X به صفر میل می کند را بدست آورید.

syms x

limit((x^3 + 5)/(x^4 + 7))

متلب عبارت بالا را بعد اجرا به صورت زیر نشان می دهد.

ans =

 5/7

تابع حد در قلمورد توابع نمادین (symbolic) قرار دارد. برای معرفی متغیر های symbolic از تابع syms استفاده می کنیم. همچنین می توان حد یک تابع را وقتی متغیرش به صفر میل می کند محاسبه کرد. برای محاسبه lim _x->a(f(x)) از دستور limit با آرگومان استفاده می کنیم. ابتدا عبارت را نوشته و سپس عبارت اینکه x به a میل می کند را می نویسیم.

برای مثال فرض کنیم، می خواهیم حد تابع f(x) = (x-3)/(x-1) را وقتی که x به 1میل می کند پیدا کنیم.

limit((x - 3)/(x-1),1)

متلب عبارت بالا را اجرا کرده و به صورت زیر نشان می دهد.

ans =

 NaN

به مثال دیگر توجه کنید.

limit(x^2 + 5, 3)

متلب عبارت بالا را اجرا کرده و به صورت زیر نشان می دهد.

ans =

 14

محاسبه حد با استفاده از Octave

مثالی که در بالا آورده شده است را با Octave اجرا کرده و نتیجه را مقایسه می کنیم.

pkg load symbolic

symbols

x=sym("x");

subs((x^3+5)/(x^4+7),x,0)

Octave کد بالا را اجرا کرده و نتیجه زیر را بدست می دهد.

ans =

0.7142857142857142857

خواص پایه ای حد

قضیه جبری حد خصوصیات پایه حد زیر را بیان می کند.

دو تابع زیر را در نظر بگیرید.

f(x) = (3x + 5)/(x- 3)

g(x) = x² + 1

حد توابع را وقتی که x به 5 میل می کند بدست آورید.

مثال

یک فایل اسکریپت ایجاد کرده و کد های زیر را در آن بنویسید.

syms x

f = (3*x + 5)/(x-3);

g = x^2 + 1;

l1 = limit(f, 4)

l2 = limit (g, 4)

lAdd = limit(f + g, 4)

lSub = limit(f - g, 4)

lMult = limit(f*g, 4)

lDiv = limit (f/g, 4)

وقتی فایل را اجرا کنید، نتیجه به صورت زیر نمایش داده می شود.

l1 =

 17

l2 =

17

lAdd =

 34

lSub =

 0

lMult =

289

lDiv =

1

خواص پایه ای حد در Octave

مثال بالا را در Octave حل کنید.

pkg load symbolic

symbols

x = sym("x");

f = (3*x + 5)/(x-3);

g = x^2 + 1;

l1=subs(f, x, 4)

l2 = subs (g, x, 4)

lAdd = subs (f+g, x, 4)

lSub = subs (f-g, x, 4)

lMult = subs (f*g, x, 4)

lDiv = subs (f/g, x, 4)

Octave عبارت بالا را اجرا کرده و نتیجه را به صورت زیر بر می گرداند.

l1 =

17.0

l2 =

17.0

lAdd =

34.0

lSub =

0.0

lMult =

289.0

lDiv =

1.0

حد های یکطرفه راست و چپ

وقتی تابعی در یک نقطه خاص ناپیوسته باشد، در این نقطه دارای حد نخواهد بود. به عبارت دیگر، وقتی تابع f(x) در نقطه x = a ناپیوسته باشد، حد های سمت راست و چپ تابع در نقطه a با هم برابر نخواهد بود.

این امر منجر به مفهوم حد سمت راست و حد سمت چپ می شود. حد سمت چپ به صورت x -> a  برای مقادیر سمت چپ x تعریف می شود یعنی x به a برای مقادیر x < a. حد سمت راست به صورت x -> a  برای مقادیر سمت راست x تعریف می شود یعنی x به a برای مقادیر x > a. وقتی حد سمت چپ و حد سمت راست با هم برابر نباشد، حد وجود ندارد.

مثال زیر را در نظر بگیرید.

f(x) = (x - 3)/|x - 3|

باید نشان دهیم که lim_x->3 f(x) موجود نیست. متلب برای نشان دادن این موضوع از دو روش زیر استفاده می کند.

1)   با رسم نمودار تابع و نشان دادن ناپیوستگی

2)     با محاسبه حد و نشان دادن تفاوت بین آن دو

حد های سمت راست و چپ با استفاده از رشته های 'right' و 'left' در دستور limit به عنوان شناسه استفاده می شود.

مثال

فایل اسکریپت را باز کرده و کد های زیر را در آن بنویسید.

f = (x - 3)/abs(x-3);

ezplot(f,[-1,5])

l = limit(f,x,3,'left')

r = limit(f,x,3,'right')

وقتی فایل را اجرا می کنیم، متلب نمودار زیر را رسم می کند.

خروجی ها به صورت زیر نمایش داده می شوند.

l =

 -1

r =

1